二次函数的单调区间怎么求的_详解二次函数单调性及求法

二次函数是高中数学中比较重要的知识点之一，也是大学数学中的基础。在学习二次函数时，我们需要掌握它的单调性及求法。本文将详细介绍二次函数的单调性及求法，希望对大家有所帮助。

一、二次函数的单调性

二次函数的单调性指的是函数在定义域上的单调性。我们可以通过一些方法来判断二次函数的单调性，包括函数的导数、顶点、判别式等。

1. 函数的导数

二次函数的导数是一个一次函数，代表了二次函数的斜率。当导数大于0时，二次函数单调递增；当导数小于0时，二次函数单调递减。当导数等于0时，二次函数取得极值。

例如，对于函数f(x) = ax^2 bx c，它的导数为f'(x) = 2ax b。当f'(x) > 0时，f(x)单调递增；当f'(x) < 0时，f(x)单调递减。

2. 顶点

二次函数的顶点是函数的最高点或最低点，也是函数的极值点。当二次函数开口向上时，顶点是函数的最低点；当二次函数开口向下时，顶点是函数的最高点。通过求出二次函数的顶点，我们可以判断函数的单调性。

例如，对于函数f(x) = ax^2 bx c，它的顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ为判别式。当a > 0时，f(x)开口向上，顶点为函数的最低点；当a < 0时，f(x)开口向下，顶点为函数的最高点。

3. 判别式

二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac，代表了二次函数的根的情况。当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根，函数在根的左右两侧单调性不同；当Δ = 0时，二次函数有一个重根，函数在根的左右两侧单调性相同；当Δ < 0时，二次函数无实根，函数在定义域上单调递增或单调递减。

例如，对于函数f(x) = ax^2 bx c，当Δ > 0时，函数在两个根的左右两侧单调性不同；当Δ = 0时，函数在根的左右两侧单调性相同；当Δ < 0时，函数在定义域上单调递增或单调递减。

二、二次函数单调区间的求法

在掌握了二次函数的单调性之后，我们需要求出函数的单调区间。根据函数的单调性，我们可以将函数的定义域划分为若干个单调区间。求出单调区间有以下两种方法：

1. 函数的图像法

通过画出函数的图像，我们可以直观地看出函数的单调性及单调区间。对于开口向上的二次函数，其单调区间为顶点左侧和右侧两个区间；对于开口向下的二次函数，其单调区间为顶点左侧和右侧两个区间的并集。

例如，对于函数f(x) = x^2 - 2x 1，它的图像如下所示：

从图中可以看出，函数在(-∞, 1]和[1, ∞)两个区间上单调递增。

2. 函数的根、顶点、导数法

通过求出函数的根、顶点、导数，我们可以得到函数的单调区间。具体步骤如下：

（1）求出函数的根，将定义域划分为若干个区间。

（2）求出函数的顶点，将定义域划分为顶点左侧和右侧两个区间。

（3）求出函数的导数，根据导数的符号确定函数的单调性。

例如，对于函数f(x) = x^2 - 2x 1，它的根为x = 1，顶点为(1, 0)，导数为f'(x) = 2x - 2。根据导数的符号，当x < 1时，f'(x) < 0，f(x)单调递减；当x > 1时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。因此，函数的单调区间为(-∞, 1]和[1, ∞)。

三、总结

二次函数的单调性及求法是高中数学中比较重要的知识点。通过掌握函数的导数、顶点、判别式等方法，我们可以判断函数的单调性；通过求出函数的根、顶点、导数，我们可以得到函数的单调区间。在学习二次函数时，我们需要多做练习，熟练掌握函数的单调性及求法，提高自己的数学水平。